Matar mosques a canonades

Resum

La història que expliquem aquí comença amb un petit problema geomètric inofensiu, plantejat el setembre de 2006 en una entrada de blog de R. Nandakumar, un enginyer de Calcuta, a l'Índia. Aquest petit problema és una «mosca»: és temptador, no tan fàcil de resoldre com hom potser podria esperar, i pertany a l'àmbit de les matemàtiques recreatives, sense cap ús pràctic. Veurem, no obstant això, com aquest petit problema connecta amb matemàtiques molt serioses: per a la modelització d'aquest problema utilitzarem coneixements d'una àrea clau de les matemàtiques aplicades, la teoria del transport optimal. Aquest serà l'escenari per a l'aplicació d'una eina principal de les matemàtiques ben pures, coneguda com a teoria equivariant d'obstruccions. Això és un «canó», amb el qual passarem una estona divertida disparant a la mosca. Per trobar una solució, les propietats combinatòries d'un objecte geomètric molt clàssic, el permutaedre, resulten essencials. Aquestes, al final de la història, ens portaran un altre cop a l'Índia, amb algun viatge en el temps que ens farà retrocedir cent anys cap al passat: per al darrer pas en la nostra solució (parcial) del problema de la mosca necessitem una propietat senzilla dels números del triangle de Pascal, que va ser observada per primer cop per Balak Ram, a Madràs, l'any 1909. Però, fins i tot si el problema d'existència s'ha resolt, el petit problema geomètric encara no: si existeix solució, com podem trobar-ne una? Aquest problema es deixarà al lector. En canvi, parlarem de la relació tibant entre canons i mosques, i acabarem citant un poema de Hans Magnus Enzensberger.