La paradoxa de Banach-Tarski i el semigrup de tipus

Resum

En aquest article estudiarem un concepte clau en relació amb la coneguda paradoxa de Banach-Tarski. Es tracta del concepte d'equidescomponibilitat de subconjunts d'un conjunt X sobre el qual actua un grup discret G. Un subconjunt E de X és G-paradoxal si existeixen dos subconjunts disjunts E1 i E2 de E de manera que cadascun d'ells és equidescomponible amb E. L'estudi d'aquesta relació es pot sistematitzar mitjançant la introducció d'un cert semigrup S (X, G), anomenat semigrup de tipus d'equidescomponibilitat de X (o, simplement, semigrup de tipus). Farem una exposició del teorema de Tarski, per a la demostració del qual utilitzarem el semigrup de tipus S (X, G). Veurem algunes generalitzacions d'aquest concepte a un context topològic, i estudiarem la possible validesa del teorema de Tarski en aquest nou context. També explicarem un resultat recent de Grabowski, Máthé i Pikhurko que dona una resposta afirmativa al problema de la quadratura del cercle (en la seva versió moderna).