Teories de primer ordre i els problemes de Tarski

Resum

A principis del segle xx, les matemàtiques varen viure una crisi de fonaments coneguda com a Grundlagenkrise der Mathematik. Com a resposta a la necessitat de formalització de les matemàtiques, la lògica matemàtica va experimentar un desenvolupament profund. Aquest desenvolupament va derivar en el naixement de diverses branques de les matemàtiques, entre les quals la teoria de models, que estudia les estructures algebraiques des de la perspectiva de la lògica matemàtica. En aquest article presentem aquest punt de vista, mostrant tant la seva potència com les seves limitacions. Comencem amb l?estudi del cos dels nombres complexos i dels nombres reals revisant els teoremes clàssics de Tarski. Continuem presentant alguns resultats de teoria de grups, com els teoremes de Szmielew sobre la teoria de primer ordre dels grups abelians. Acabem amb un resum de la solució recent dels problemes de Tarski sobre la teoria elemental dels grups lliures.