El cos diferència i el cos de projecció en geometria convexa

Resumen

En aquest article presentem nocions i resultats clàssics de geometria convexa que són objecte de recerca actual, sovint perquè han trobat aplicacions a les noves tecnologies. Ens centrem en tres famílies de convexos: les el.lipses, els cossos centralment simètrics i els zonoides, i en donem algunes de les seves aplicacions en diferents àrees de la geometria. Per exemple, demostrem el primer teorema fonamental de Minkowski de la geometria de números, l’existència d’un el.lipsoide amb volum màxim contingut a dins d’un convex —l’anomenat el.lipsoide de John— i estudiem el problema de Shephard, que planteja si hi ha parelles de convexos tals que l’un té volum més petit que l’altre, i àrea de les projeccions més gran. Els convexos centralment simètrics i els zonoides, també els descriurem com a imatge de certs operadors fonamentals en geometria convexa: l’operador diferència i l’operador projecció. A la primera part de l’article, presentem els conceptes bàsics que farem servir i fem una petita escapada a la geometria combinatòria, presentant el teorema de Helly i algunes de les seves conseqüències.

Paraules clau: teorema de Helly, cos diferència, cos de projecció, convex centralment simètric, el.lipsoide, zonoide, desigualtat de Rogers-Shephard, desigualtat de Petty.

Classificació MSC2010: 52A20.