Geometric methods in monogenic extensions - Pedret, Francesc (Reports@SCM, 2024)
Un cos de nombres K és monogen si el seu anell d’enters està generat per un sol element com a Z-àlgebra. En el cas cúbic, determinar si K és monogen o no és equivalent a resoldre l’equació diofàntica |IK (X,Y )| = 1 sobre Z, on IK és la forma índex del cos. Una solució entera determina un punt racional a la corba de gènere 1 IK (X,Y ) = Z3. Mitjançant aquesta construcció, es pot demostrar que K determina una F3-òrbita en H1(Q, E[3]), on E és la corba el·líptica definida per Y 2 = 4X3 + Disc(K). Donem la construcció explícita d’aquesta òrbita pel cas de cossos cúbics purs i caracteritzem la suma de cocicles associats a cossos no isomorfs.