Gauss i el polígon de 17 costats

Autors/ores

  • Agustí Reventós i Tarrida

Resum

En aquest article volem posar de manifest la importància històrica de la construcció amb regle i compàs del polígon de 17 costats, problema al qual Gauss dedicà el primer treball que va publicar. Veurem com el mateix procediment seguit en aquest cas, que consisteix a agrupar les arrels d?un polinomi de grau 17 − 1 = 16 en dos grups de vuit arrels, i aquests dos grups tornar-los a dividir en dos, iterant el procediment fins arribar a vuit grups de dos arrels cadascun, es pot generalitzar a la construcció de polígons regulars de n costats sempre que n − 1 sigui una potència de dos. A partir d?aquí es veu fàcilment que si a la descomposició en factors primers de n només apareixen potències de dos o primers de Fermat, el polígon regular de n costats es pot construir amb regle i compàs. El recíproc, que Gauss dóna sense demostració, és coneix avui dia com a teorema deWantzel. En un apèndix donem una demostració d?aquest teorema on apareixen extensions de cossos i polinomismínims, dos dels ingredients bàsics de la teoria de Galois.

Descàrregues

Publicat

2015-01-15

Número

Secció

Articles